Phân phối nhị thức

Phân phối nhị thức là gì?

Phân phối nhị thức là phân phối xác suất rời rạc mô tả số lần thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, trong đó mỗi phép thử chỉ có hai kết quả (thành công/thất bại) với xác suất thành công không đổi p. Công thức tổng quát: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k), với k = 0, 1, ..., n và C(n,k) là tổ hợp chập k của n.

Đặc điểm

• Kỳ vọng toán: E(X) = n × p; Phương sai: Var(X) = n × p × (1-p).
• Điều kiện áp dụng: n cố định, hai kết quả rõ ràng, xác suất p không đổi qua các phép thử.
• Các phép thử phải độc lập, không ảnh hưởng lẫn nhau.
• Khi n lớn và p gần 0 hoặc 1, phân phối nhị thức xấp xỉ phân phối Poisson (λ = n×p).
• Được ứng dụng rộng rãi trong chấm điểm tín dụng, xác suất vỡ nợ (PD), phân loại nhóm nợ.

Ví dụ

Một ngân hàng phê duyệt n = 10 hồ sơ vay mua nhà độc lập, xác suất khách hàng trả nợ đúng hạn p = 0,9. Xác suất có đúng 8 khách trả nợ đúng hạn: P(X=8) = C(10,8) × 0,9^8 × 0,1^2 ≈ 0,1937 (khoảng 19,37%). Theo Thông tư 39/2016/TT-NHNN quy định về cho vay và Thông tư 17/2020/TT-NHNN sửa đổi, bổ sung, ngân hàng phải phân loại nợ và trích lập dự phòng dựa trên đánh giá xác suất vỡ nợ. Phân phối nhị thức là mô hình nền tảng để tính PD trong hệ thống xếp hạng tín dụng nội bộ, đặc biệt với danh mục cho vay cá nhân có số lượng lớn và đặc tính đồng nhất.